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120.魏尔斯特拉斯函数（第1页）

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魏尔斯特拉斯（KarlTheodorWilhelmWeierstrass，1815—1897）

1872年

这是尼蓝德用逼近法方式所绘、集结许多魏尔斯特拉斯曲线而成的魏尔斯特拉斯曲面。尼蓝德所使用的函数为fa（x）=Σ[sin（πkax）πka]，其中0＜x＜1；2＜a＜3且k值从1到15。

皮亚诺曲线（1890年），科赫雪花（1904年），郝斯多夫维度（1918年），海岸线悖论（约1950年）及分形（1975年）

19世纪初期的数学家往往认定在连续函数f（x）曲线上绝大多数的点，一定都能找到导数（即该点唯一一条切线）。1872年，德国数学家魏尔斯特拉斯才让他在柏林普鲁士科学院的同僚们，深感意外地完成这个论点并不正确的证明。魏尔斯特拉斯函数是一个处处连续但是却都不可微（亦即不具有导数）的函数，写成f（x）=Σacos（bπx），其中k从0到无限大∞，a是一个介于0与1之间的实数（0＜a＜1），b为一正奇数且ab＞（1+3π2）；总和符号Σ显示这个函数是由无限个三角函数所组成的一种稠密地套在一起的震荡结构。

在此之前，数学家们当然知道有些函数在某些特定的问题点上无法微分，譬如f（x）=|x|这种颠倒的楔形在x=0这一点就无法微分；可是在魏尔斯特拉斯提出这个没有任何一点可微分的函数之后，所有数学家全都哑口无言了。数学家埃尔米特（CharlesHermite）在一封于1893年写给斯蒂尔吉斯（ThomasStieltjes）的信中提到：“在看到一个连续却没有导函数的函数，我只能怀抱无知的恐惧与惶恐，别过头去……”

居柏雷蒙（PaulduBois-Reymond）在1875年将魏尔斯特拉斯函数印制发表，使之成为史上处处连续却无处可微的函数类别中，第一个公开发表的成果。再早个两年，居柏雷蒙还曾经把即将发表的论文草稿交给魏尔斯特拉斯批评指教（草稿中原本有另一函数f（x）=Σsin（ax）b，其中（ab）＞1且k值从0到无限大∞；不过这个函数在发表前被修改过）。

就跟其他的分形（fractal）图案一样，魏尔斯特拉斯函数随着倍率放大会展现出更多的细节。其他像是捷克数学家波查诺（BernardBolzano）及德国数学家黎曼（BernhardRiemann）分别在1830年及1861年都曾研究过类似的建构（但是并未发表），另一个处处连续却无处可微的函数例子，可以参考科赫曲线的分形图案。看书阁『seeshu』，為您提供精彩小說閱讀

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